適用于直流激勵一階電路的三要素法

     我們?nèi)砸院唵我浑A RC 電路為出發(fā)點(diǎn)。 圖1 所示 RC 電路的全響應(yīng)結(jié)果如下：

圖 1 一階RC電路圖

                   ( 1 )

             ( 2 )

由 圖1 容易知道，電容電壓 的初值為 ，電容電壓的終值為 ；而電流 的初值為 ，電流 的終值為 。

觀察式 ( 1 ) 、式 (2) 可見，一階電路中任意電路變量的全響應(yīng)具有如下的統(tǒng)一形式：

        ( 3 )

可見，為求解一階電路中任一電路變量的全響應(yīng)，我們僅須知道 三個要素 ：電路變量的 初值 、電路變量的 終值 以及一階電路的 時間常數(shù) 。我們稱式 ( 6-5-3 ) 為一階電路分析的 三要素法 。三要素法同樣適用于一階 RL 電路，但是二階以上動態(tài)電路不可采用此法。

推廣的三要素法

    在前面分析一階電路時，我們采用的獨(dú)立源具有共同的特點(diǎn)，即所有獨(dú)立源均為直流（直流電壓源或直流電流源）。對于直流激勵電路，換路前電路變量為穩(wěn)定的直流量，換路后經(jīng)歷一個動態(tài)過程，電路變量過渡到另外一個穩(wěn)定的直流量。我們?nèi)菀赘鶕?jù)電路的原始狀態(tài)和電路結(jié)構(gòu)確定電路變量的 初值f(0+)、電路變量的 終值 f(∞)以及一階電路的 時間常數(shù) 。如果電路中激勵源不是直流，而是符合一定變化規(guī)律的交流量（如正弦交流信號），則換路后電路經(jīng)歷一個動態(tài)過程再次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，此時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不再是直流形式，而依賴于激勵源的信號形式（如正弦交流信號）。此時，我們無法確定電路變量的 終值f(∞),故無法采用式 ( 3 ) “三要素法 ” 確定一階電路全響應(yīng)。對于這類一階電路，我們可以采用推廣的三要素法：

                  〔 4 )

式中， 為全響應(yīng)的 初值 、 為電路的 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 、τ為電路的 時間常數(shù) ，稱為一階線性電路全響應(yīng)的 三要素 ， 為全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解的初始值。

“三要素”的計(jì)算與應(yīng)用

     利用三要素法分析一階電路的全響應(yīng)時，必須首先計(jì)算出電路變量的 初值、電路變量的 終值 以及一階電路的 時間常數(shù) 。。假設(shè)激

勵源為直流電壓源或電流源。

•  初值 f(0+) 的計(jì)算

   換路前，一般認(rèn)為電路已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。根據(jù)電路結(jié)構(gòu)以及元件屬性，我們不難確定動態(tài)元件的原始狀態(tài)（電容元件的電壓 或電感元件的電流 ）。在有限激勵的作用下，電容元件的電壓或電感元件的電流不會發(fā)生突變。因此，在 時刻，電容元件的電壓 或電感元件的電流 維持原始狀態(tài)不變。我們可以用一個電壓源 取代電容元件，或用一個電流源 取代電感元件。此時，電路被轉(zhuǎn)換成電阻電路，借助于電阻電路的支路分析法、回路分析法、結(jié)點(diǎn)分析法、戴維寧定理等即可計(jì)算出響應(yīng)信號的初值 。

•  終值 f(∞)的計(jì)算

   換路后，動態(tài)電路經(jīng)過一個過渡過程，再次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。在直流激勵情況下， t=∞時，電容電壓和電感電流維持某個不變的取值。電容元件電流為 0 ，可以用開路元件取代，電感元件電壓為零，可以用短路元件取代。與初值計(jì)算相似，電路被轉(zhuǎn)換成電阻電路，借助于電阻電路的分析方法即可計(jì)算出響應(yīng)信號的終值 f(∞)。

•  時間常數(shù) τ的計(jì)算

    實(shí)際的一階電路可能元件數(shù)量較大，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，電路中包含多個電阻元件、獨(dú)立源、受控源和多個電容或電感。若電路滿足一階電路的條件，則其中的電容元件或電感元件之間必有強(qiáng)烈的相關(guān)性，表現(xiàn)在電路連接上為串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)關(guān)系。此時，換路后的電路模型可以看作由為某個電容網(wǎng)絡(luò)或電感網(wǎng)絡(luò)與一個含源電阻網(wǎng)絡(luò)相連組成，如圖2 （ a ）所示。對電路中電容網(wǎng)絡(luò)或電感網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行串、并聯(lián)計(jì)算，得到一個等效電容 C eq 或一個等效電感Leq ，將含源電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行諾頓等效或戴維寧等效，得到圖2 （ b ）所示等效一階電路。則一階電路的時間常數(shù)τ 可計(jì)算如下：

    或                           〔5 )

（ a ）電路模型分解         （ b ）等效電路

圖2 一階電路的電路模型分解與等效