電勢公式的推導與電勢能的公式

分析幾種電荷分布產生的的電勢公式：

1、均勻分布的球面電荷（球面半徑為r。帶電量為q）

電勢分布公式為：

2、均勻分布的球體電荷（球體的半徑為r，帶電量為q）

電勢分布公式為：

3、均勻分布的無限大平面電荷（電荷面密度為sigma）

電勢分布公式為：

其中假設r0處為零電勢參考點。若選取原點為零電勢參考點。即u0=0，那么其余處的電勢公式為：

4、均勻分布的無限長圓柱柱面電荷

電勢分布公式為：

電勢公式的推導：

電荷周圍產生的靜電場的電勢差與電勢的公式與推導：

一場源點荷為q，在距q為r的a點有一點電荷為q，求證：此a處電勢φ=kq/r。

證明：設無窮遠處電勢為0，則在電場力的作用下，q從r處運動到無窮遠，電場力做功為qu。　　

將a到無窮遠這段距離無限等分最遠處距離為r0，a 處為rn,(0，1，2，……n為下標)。

①式子：kqq*(r(n-1)-rn)/rn^2+kqq*(r(n-2)-r(n-1))/r(n-1)^2+……+kqq*(r2-r3)/r3^2+kqq*(r1-r2)/r2^2+kqq*(r0-r1)/r1^2=qu。

②式子：kqq*(r(n-1)-rn)/(rn*r(n-1))+kqq*(r(n-2)-r(n-1))/(r(n-1)*r(n-2))+……+kqq*(r2-r3)/(r3*r2)+kqq(r1-r2)/(r2*r1)+kqq*(r0-r1)/(r1*r0)=qu。

因此，kq/rn-kq/r(n-1)+kq/r(n-1)-kq/r(n-2)+……+kq/r3-kq/r2+kq/r2-kq/r1+kq/r1-kq/r0=u ，kq/rn-kq/r0=u，kq/rn-0=φ-0 φ=kq/rn,即φ=kq/r。

圖1：電勢公式的推導

電勢能的公式：ep=wao=q·φa.(ep表示電勢能）：當φa>0時，q>0,則εp>0,q<0,則εp<0；當φa<0時，q>0,則εp<0,q<0,則εp>0。