零點漲落無中生有，暗藏能量真空不空

圖22-1：真空不空

現代人都有“真空”的概念。例如，熱水瓶為什么能保溫？因為瓶膽的兩層玻璃之間被抽成了“真空”，其中沒有了大氣，便無法進行熱傳導，所以能保溫。使用鎢絲的電燈泡中是“真空”，燈絲缺乏氧氣，才不會被很快地燒盡。歷史上，從古希臘時代開始，“真空”就是一個備受討論的哲學議題，而在現代科技中，“真空”變成了一種有價值的工業工具和技術，用以達到某種實用的目的。

也就是說，多數人想象的“真空”應該是不存在任何物質、空無一物的空間狀態。因為我們人類生活在地球上，生活在被大氣層包圍著的環境中，所以一般公眾理解的“真空”，或者說接近“真空”的程度，是與容器中大氣的多少、氣壓的高低有關的。

那么，如果我們突破了大氣層的限制，去到宇宙空間中，那是不是就身處“真空”中了呢？

答案是否定的，盡管宇宙空間中沒有空氣，但仍不是空無一物。宇宙中充滿了輻射能量，有各種各樣的宇宙射線，及各種頻率的電磁波，也包括我們大家熟悉的可見光波。

實際上，沒有物質、能量，空無一物的環境是很難達到的。就物理理論而言，那也是一種不可企及的狀態。真空的定義隨著理論的發展而變化，量子場論中引進了粒子數算符以及生成湮滅算符等，真空的定義便“進化”為 “在任何湮滅算符作用下都得到基態”的一種量子態。也就是說，真空態的各種粒子數都已經降到最小值0。然而，根據量子物理中的不確定性原理，即使沒有粒子、沒有輻射，也仍然會存在量子漲落。或者說，沒有什么真空，因為真空不空！

真空不空與零點能量的概念有關聯。零點能原意指的是量子系統處于基態（絕對零度）時所擁有的能量。不過，在量子場論的語義下，零點能與真空能是一致的。

零點能的概念最早出現在普朗克（Max Planck，1858 -1947）1912年發表的一篇文章中[1]，是他在重新表述他十幾年前開創的量子理論時提出的。

圖22-2：愛因斯坦用普朗克的輻射公式計算氫分子的比熱

1900年，普朗克解決黑體輻射問題（black-body radiation）時，從統計力學推導出了黑體輻射公式。之后，在1911年至1913年發表的一系列論文里，普朗克提出他的'第二量子理論'；他在重新推導的能量輻射子的平均能量中，給出了零點能量的表達式，即 (1/2) hν，h 是普朗克常數，ν 是量子諧振子的頻率，見圖22-2左上方的公式。

根據普朗克新表述的輻射公式，量子系統所擁有的能量不能低于零點能。普朗克當時并不很在意這個(1/2) hν，但卻很快地引起了正在研究統計中漲落公式的愛因斯坦（Albert Einstein，1879 -1955）的注意。愛因斯坦說：“零點能可能真的存在！”，并和他的助手奧托·施特恩（Otto Stern，1888-1969）一起寫了一篇文章：假設雙原子分子的旋轉能含有零點能，并且所有雙原子分子以同樣角速度旋轉，然后計算出雙原子分子氣體的比熱。將氫氣的理論比熱與實驗數據相互比較（圖22-2的曲線），用零點能的概念解釋了氫低溫比熱的實驗結果，證明了零點能存在的必要性[2]。后因為保羅·埃倫費斯特（Paul Ehrenfest，1880 -1933）給出更具一般性的計算，據說他們又撤回了那篇論文。

1927年，海森堡的不確定性原理從量子力學基礎理論的角度，證實了量子系統不可能沒有零點能。根據不確定性原理，動量和位置不能同時確定。例如，考慮一個處于諧振子勢阱中的粒子，因為位置被限制了，動量便不可能為零，基態的能量也就不可能為零。因此，零點能與不對易關系（即xp-px≠0）緊密相連，也可以說，零點能是量子系統由于動量p與位置x不對易所引起的能量不確定性，因而產生的非零期望值。

在量子場論中，每個時空點都被看作是量子化的簡諧振子，并與相鄰振子有相互作用，見圖22-3a。每個諧振子的真空期望值為(1/2) hν（圖中表示為約化普朗克常數和角頻率的乘積）。因為諧振子可取的頻率值為無窮多，從而導致無限大的零點真空能量。

圖22-3：真空模型

如果用費曼圖來描述真空，是各種各樣所有可能的（單圈或多圈）圈圖，圖22-3b展示了圈圖的幾個例子。這些圈圖表示了真空中無休止的量子漲落：各種粒子在泡沫式的真空海洋中，隨機生成又瞬間湮滅，它們被稱為虛粒子（virtual particle）。

量子場論中有一個“在殼離殼”（On shell and off shell）的概念，物理系統中滿足經典運動方程的位形稱為在殼的，而其它的則稱為離殼的。所謂“殼”即是質能關系式E²- p² = m²（取真空光速c為1）在能量-動量空間中所描述的雙曲面。滿足質能關系式的為“在殼”，否則便是“離殼”。

圖22-4：費曼圖中在殼和離殼的

費曼圖中可以簡單地判定在殼和離殼。如圖22-4所示，外線（入射出射）表示的粒子，是可觀測的實粒子，必須是在殼的；而內線（綠色線）表示的，是離殼的、不可觀測的虛粒子。

虛粒子，意即虛構或假想的粒子，實際上是為量子場論中繁雜的數學計算而建立的一種解釋性的直觀概念。固然，不僅僅真空布滿了虛粒子，實粒子之間的許多相互作用過程中也少不了它們，圖22-4所示的電子-電子散射問題便是其中一例。

量子理論不同于經典理論，即使是我們以為在腦袋里有清晰圖像的實粒子（電子、光子等），在量子世界中也表現出難以理解的反常行為，何況“虛粒子”呢！

物理學的目的之一是追本溯源：世界萬物是由哪些基本成分組成的，這些成分之間如何相互作用。幾百年來，現代物理學的研究目標，基本上是在探索這個問題。其答案則在“粒子”和“場”兩種形態之間徘徊。量子場論選擇了以場為本的觀點，認為世界的本質是場，每種基本粒子都有一種場與其相對應。粒子則表現為波瀾起伏的場中被激勵而出現的“漣漪”。

引進“虛粒子”的目的，是為了回答“相互作用是如何發生的”這一類問題。例如，當兩個電子互相接近時，它們會因為帶著同樣的負電荷而相互排斥。這種排斥顯然是通過電磁場（光子）起作用的，但我們并不見它們互射（真實的）光子。那么，量子電動力學（QED）如何來描述這個排斥作用發生的過程？

因為 “場”布滿了整個時空，所以，場概念的引進避免了經典物理中的超距作用（action at distance）。QED中有不可分離的電磁（光子）場和電子場。兩個場之間相互作用的計算，要比粒子與粒子之間作用的計算復雜得多。它們的直觀圖像也不容易想象。也許可以打個不恰當的比喻：一鍋白米粥與一鍋黒米粥混在一塊兒，沸騰后不停地冒泡。這使得“粥”分子之間相互影響，“漣漪”誘發“漣漪”，再誘發新的“漣漪”，將初始形態不斷傳播后構成最后的狀態。

圖22-5：一個虛光子對應一個復雜的積分

兩個電子通過電子場和光子場互相作用而散射的具體計算非常困難，像費曼這樣的天才人物卻能從中識破天機，將整個相互作用按照作用大小分成不同等級的許多項。這些項對應于路徑積分中的多種可能性。如圖22-5所示，對電子散射有貢獻的項數有無窮多，但最重要的貢獻卻來自于前幾項。即使是這第一項（藍色方框所示的樹圖中的t-channel），也對應了一個四維空間中的復雜積分，圖22-5中顯示了被積函數的矩陣元。這一項的費曼圖只包括了2個頂點，頂點之間是一條表征光子的波浪線。

總結一下上面的解釋：電子-電子散射時，最主要的相互作用是正比于電子電荷e平方的項，其散射概率可以用電子場和光子場根據圖下面的數學公式表示的函數，對時空變量進行積分計算而得到。

為了更好地說明問題，物理學家將上述這段話和復雜的數學表達式，用一句既簡潔直觀又符合費曼圖的說法來表達，即“兩個電子交換了一個虛光子”！

能夠用一句話表述這個比較簡單的費曼圖（T），后面（有圈）的子圖也就容易“解釋”了，不過是引進更多 “虛粒子” 的說法而已。例如，在四個頂點的圖中：圖（A）是先后交換了兩次虛光子；圖（C）是在交換一個虛光子的過程中，產生正負（虛）電子對但立即又湮滅了。每一個可能的過程都對應一個冗長的數學表達式，通過積分就可以計算出這個過程對總散射概率的貢獻。

明白了上面的解釋，也就基本上明白了虛粒子是什么。換言之，虛粒子在數學上代表一個頗為復雜的積分，物理上描述量子場之間某種復雜的相互作用。這樣的話，如果有人一定要問：“虛粒子真的存在嗎？”就其物理意義而言，相互作用當然存在。盡管存在，但卻不是以通常意義下人們所理解的“粒子”那種形態存在。

其實，量子場論中，無論虛粒子還是實粒子，都是場中的漣漪，都對應于某個數學描述。不過，實粒子可以持續存在并一直傳播，是能夠被觀測到的“在殼”粒子，而虛粒子短命且瞬變，在修成正果之前就消失了。既然虛粒子不可直接觀測，也沒有單一且明確的物理圖像，追究它是否真實存在就沒有任何意義了，最好還是將它們理解為只是為了提供某種詮釋性圖像的一種概念化手段比較合適。

所以，虛粒子和費曼圖雖然直觀，但卻并不是完全準確的物理描述，有可能造成誤解。例如，圖22-5籃框中的費曼圖，看起來像是兩個電子在靠近到一定程度時，互相發射（吸收）了一個虛光子。但實際情況，遠不是這么簡單！人們的頭腦畢竟需要直觀的想象，況且這種形式化的理解方法，有助于列出計算公式，因此有人認為，費曼圖只是一種方便的計算工具。

量子場論中，真空被定義為所有的粒子數都為零，所以不存在實粒子。但由于(1/2) hν 基態能量的存在，真空被解釋為“不空”，充滿了無窮多不停變換的虛粒子。盡管虛粒子不能被觀測，但它們產生的效應卻可以通過與實粒子的相互作用被探測到。例如，真空漲落將引起電子磁矩偏離簡單的玻爾磁子，稱為反常磁矩（The anomalous magnetic moment），此外還有蘭姆位移（Lamb shift），也證實了真空漲落和零點能的存在。蘭姆位移的值約為1000兆赫（MHz），是很小的能量差。

圖22-6左圖，比較了三種理論框架下的部分氫原子光譜：玻爾模型中的一個簡并能級在狄拉克相對論理論下分裂成精細結構。然后，更為精細的蘭姆位移可以用QED理論解釋。氫原子基態能級是13.6ev，精細結構只有基態數量級的十萬分之一，蘭姆位移又只有精細結構的十分之一。

圖22-6：蘭姆位移

圖22-6右圖是引起蘭姆位移的相關費曼圖，對應于電子自能和真空極化。可以直觀理解為微小的零點振蕩，“抹開”了原子的電子云，因此庫侖位勢被攝動了，使得兩個能級（2s_1/2，2p_1/2）的簡并性被破壞，產生蘭姆位移。

卡西米爾效應（Casimir effect）留待下次介紹。

參考資料：

[1] Max Planck, Über die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlumg, Annalen der Physik 37, 642-656(1912).

[2] A. Einstein and O. Stern, Einige Argumente für die Annahme einer molecular Agitation beim absoluten Nullpunkt, Ann. Phys.(4) 40, 551 (1913).

制版編輯 | Livan

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